ชาวเกาะครีตทุกคนเป็นคนโกหก ?
ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ (incompleteness theorem) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญมาก ซึ่งค้นพบโดยเกอเดล (Kurt Godel) (ค.ศ. 1906-1978) นักคณิตศาสตร์ชาวเชโกสโลวะเกีย
ทฤษฎีบทนี้มีบทบาทสำคัญและเป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์ด้านตรรกะของคอมพิวเตอร์ ซึ่งศึกษาค้นคว้าทางตรรกะเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์
ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล
สำหรับระบบสัจพจน์ (axiomatic system เช่น ทฤษฎีจำนวนธรรมชาติและทฤษฎีเซต) ที่ไมมีการขัดแย้ง ระบบนั้นจะมีประพจน์ (proposition) ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง
ในสมัยก่อน โดยทั่วไปทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์ว่าถูกต้องทางคณิตศาสตร์แล้วจะไม่มีการตั้งข้อสงสัยอีก และคิดกันว่าไม่ว่าเวลาจะผ่านไปนานเพียงใดก็จะไม่มีการโต้แย้งหรือล้มล้างได้
ในปี ค.ศ. 1900 ฮิลแบร์ต ผู้ซึ่งมีชื่อเสียงมากในวงการคณิตศาสตร์ได้ชักชวนและขอความร่วมมือจากนักคณิตศาสตร์ทุกคนให้เข้าร่วมในโครงการที่เรียกว่า “โครงการของฮิลแบร์ต” ซึ่งเป็นโครงการขนาดใหญ่ที่มีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงความสมบูรณ์แบบทางตรรกะของคณิตศาสตร์ โดยจะพยายามพิสูจน์ให้ได้อย่างสมบูรณ์ว่า “ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ไมมีความขัดแย้งกันโดยสิ้นเชิง ไม่ว่าจะเป็นปัญหาใดก็ตาม จะสามารถตัดสินว่าจริงหรือไม่จริงได้” ซึ่งในสมัยนั้นโครงการของฮิลแบร์ตได้รับความสนใจจากทั่วโลก
แต่เกอเดลกลับมีข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า “ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์นั้นไม่สมบูรณ์ และไม่มีทางที่จะสมบูรณ์แบบได้” ไม่ทราบว่ามีแต่ผมคนเดียวหรือเปล่า ที่อยากจะเห็น
ฮิลแบร์ตตกใจกับข้อพิสูจน์ของเกอเดลในตอนนั้น ?
ฮิลแบร์ตตกใจกับข้อพิสูจน์ของเกอเดลในตอนนั้น ?
ตัวอย่างที่ใช้อธิบายทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ดังกล่าว ได้แก่สัจพจน์ต่อไปนี้
คนชราชาวครีตคนหนึ่งได้พูดว่า “ชาวครีตทุกคนเป็นคนโกหก”
ลองพิจารณาดูว่า ชาวครีตจะเป็นคนโกหกอย่างที่คนชรานี้พูดไว้จริงหรือ ?
ถ้าทุกคนเป็นคนโกหก ก็จะเป็นว่าคนชราคนนี้พูดความจริง ซึ่งก็จะทำให้เกิดข้อขัดแย้งกับคำพูดที่ว่าชาวครีตทุกคนเป็นคนโกหก ในทางตรงกันข้ามถ้าชาวครีตทุกคนไม่โกหก ก็จะกลายเป็นว่าคนชรานั้นพูดโกหก ซึ่งก็จะเกิดเป็นข้อขัดแย้งอีกเช่นกัน
แล้วถ้าอย่างนั้นชาวครีตทุกคนโกหกหรือไม่โกหกกันแน่ ?
คำตอบคือ “ไม่สามารถชี้ได้ว่าถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง”
เกอเดลได้นำ “การที่มีประพจน์ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ มาชี้ให้เห็นและทำให้เป็นรูปแบบของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์”
เกร็ดความรู้เพิ่มเติม
เกี่ยวกับเกอเดล
ในทางคณิตศาสตร์มักจะมีการเขียนแสดงด้วยข้อความหรือสูตรในลักษณะที่ว่า “ถ้า A แล้ว B” ซึ่งการเขียนแสดงในลักษณะนี้จะเรียกว่า ประพจน์ สามารถเขียนแทนทางคณิตศาสตร์ได้เป็น “A->B” จากนั้นก็จะแยกประพจน์ที่เป็นไปตามนั้นว่าเป็น “จริง” และประพจน์ที่ไม่เป็นไปตามนั้นว่าเป็น “เท็จ”
แต่เกอเดลได้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า มีประพจน์ที่ไม่ได้เป็นทั้ง “จริง” และ “เท็จ” คือเป็นประพจน์ที่ “ไม่สามารถพิสูจน์ได้” รวมอยู่ด้วย
ลองอธิบายทฤษฎีบทของเกอเดลด้วยปฏิทรรศน์ของริชาร์ด (Richard’s paradox) โดยให้ x เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วลองพิจารณาเงื่อนไขต่าง ๆ ในระบบสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติดู
(**ปฏิทรรศน์ หรือ พาราด็อกซ์ (paradox) คือ ประโยคหรือกลุ่มของประโยคที่เป็นจริงอย่างชัดเจนแต่นำไปสู่ความขัดแย้งในตัวเองหรือสถานการณ์ที่อยู่นอกความคิดทั่วไป โดยทั่วไปแล้วอาจเป็นไปได้ว่า ประโยคดังกล่าวนี้แท้จริงแล้วอาจไม่ได้นำไปสู่สภาวะขัดแย้ง หรือผลลัพธ์ที่ได้อาจไม่ใช่ข้อขัดแย้งจริง ๆ หรือข้อกำหนดในตอนต้นอาจไม่จริงหรือไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้) (ข้อมูลจาก http://th.wikipedia.org/wiki/)
เงื่อนไข 1) x เป็นจำนวนคู่
เงื่อนไข 2) x2 เป็นจำนวนคู่
เงื่อนไข 3) x เป็นคำตอบของสมการอันดับที่สอง
x2 – 4x + 3 = 0
และอาจจะเขียนเงื่อนไขอย่างอื่นได้อีก แต่จำนวนธรรมชาติ x ที่เป็นไปตามเงื่อนไขแต่ละข้อก็จะถูกจำกัด
ต่อไปกำหนดหมายเลขให้เงื่อนไขเหล่านี้ และเขียนแทนเงื่อนไข 1 เป็น C1(x) เงื่อนไข 2 เป็น C2(x) แล้วเรียงเป็น
C1(x), C2(x), C3(x), … , Cn(x), … …………………………….(1)
เงื่อนไขที่ 1 เมื่อให้ x เป็น 1 แล้ว C1(1) จะได้ว่า “1 เป็นจำนวนคู่” ซึ่งไม่เป็นจริง เมื่อเงื่อนไขที่ 1 ให้ x เป็น 2 แล้ว C1(2) จะได้ว่า “2 เป็นจำนวนคู่” ซึ่งเป็นจริง และทำนองเดียวกันจะได้ว่าประพจน์ “C1(x) ->C2(x)” จะเป็นจริง
คราวนี้ลองพิจารณาเงื่อนไขว่า “Cx(x) ไม่เป็นจริง” เงื่อนไข Cx(x) ก็ต้องเป็นเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งที่เรียงอยู่ใน (1) ดังนั้นจึงเขียนแสดงได้เป็น Cj(x) ได้ แล้วเมื่อแทน x = j ก็จะได้เป็นเงื่อนไข Cj(j) แต่ว่าจากเงื่อนไขเดิมที่ “Cx(x) ไม่เป็นจริง” ดังนั้น Cj(j) ที่ได้จากการแทน x = j ก็จะเป็นประพจน์ที่ว่า “Cj(j) ไม่เป็นจริง” ซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนว่ามีความขัดแย้ง (เพราะอย่างน้อย C2(2) ก็เป็นจริง) ที่เป็นอย่างนั้นเพราะว่าประพจน์ที่สร้างจากเงื่อนไขที่ไม่เป็นจริงนั้นย่อมไม่เป็นจริง นั่นคือ “Cx(x) ไม่เป็นจริง” ไม่เป็นจริง เป็นการปฏิเสธซ้อนปฏิเสธ จึงเป็นการประกาศว่าตัวประพจน์เองไม่เป็นจริง
เกอเดลจึงได้เสนอว่าแทนที่จะใช้การเขียนแสดงเป็นเงื่อนไข “Cx(x) ไม่เป็นจริง” แต่แสดงด้วยเงื่อนไข “Cx(x) ไม่สามารถพิสูจน์ได้” จะเข้าใจได้ง่ายกว่า
... นายฉัตรชัย ไชยราช ... เลขที่ 2
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น